Aula 13·10/06/2026

Diff-in-Diff pt. 3

Dif-in-dif com controle de variáveis com IPW

Qual é a razão para fazermos isso? Diff-in-diff é um modelo de diferenças, e sendo assim, ele poderia ser estimado de uma forma bem mais direta. Escreveríamos uma variável que é, ela mesma, a subtração no momento 2 e no momento 1.

\[ y = \alpha_i + \tau_t + \delta\, \mathbb{I}(G = 1) \times \mathbb{I}(T = 2) + \epsilon_{it} \]

O que a gente modela aqui é a parallel trends assumption, que nos diz que a tendência temporal desse contrafactual é a mesma que a do grupo controle.

Podemos, é claro, transformar o banco de dados para o formato wide.

ID	Y₁	Y₂	ΔY	Grupo
1	10	15	+5	Trat
2	5	−3	−8	Trat

\[ \begin{align*} &Y_{i2} = \alpha_i + \beta_1 \text{sexo}_i + \delta D_{i2} \\ -\; &Y_{i1} = \alpha_i + \beta_1 \text{sexo}_i \\ \hline &\Delta Y_i = \delta D_{i2} \end{align*} \]

No entanto, pode haver um desbalanceamento entre grupo de controle e tratamento ao longo do tempo. Isso viola o diff-in-diff, em particular porque a noção de parallel trends é violada. Então precisamos discutir a ideia de conditional parallel trends, quando o balanceamento só é respeitado dentro dos grupos.

Conditional parallel trends

\[ \mathbb{E}[ \Delta Y_{i}(0) \mid X_i, D_i = 1 ] = \mathbb{E}[ \Delta Y_{i}(0) \mid X_i, D_i = 0 ] \]

Em palavras: na ausência do tratamento, a variação média de \(Y\) para os tratados teria sido igual à variação média observada nos controles, condicional em covariadas \(X_i\).

O lado esquerdo é um contrafactual – nunca observado para \(D_i = 1\). O lado direito é observável. Essa igualdade é o que autoriza usar o grupo controle como estimador da tendência que o grupo tratado teria seguido, permitindo identificar o ATT:

\[ \hat{\delta}^{DiD} = \mathbb{E}[\Delta Y_i \mid D_i = 1] - \mathbb{E}[\Delta Y_i \mid D_i = 0] \]

Na fórmula (9) do artigo, temos o seguinte:

\[ \mathbb{E}_\omega \ [ \ \Delta Y_{i, t=2} \ | \ D_i = 1 \ ] - \mathbb{E}_\omega \ [ \ \mathbb{E}_\omega \ [ \ \Delta Y_{i, t = 2} \ | \ X_i, D_i = 0 \ ] \ | \ D_i = 1 \ ] \]

O primeiro termo, \(\mathbb{E}_\omega[\Delta Y_{i,t=2} \mid D_i = 1]\), é simplesmente a variação média observada de \(Y\) entre os períodos para o grupo tratado.

O segundo termo é um valor esperado duplo que estima o contrafactual, ou seja, qual teria sido a variação média dos tratados na ausência do tratamento. Ele opera em dois passos:

1. O valor esperado interno, \(\mathbb{E}_\omega[\Delta Y_{i,t=2} \mid X_i, D_i = 0]\), modela a relação entre as covariadas \(X_i\) e a variação de \(Y\) usando apenas os controles. Isso produz uma função que, dado um perfil \(X_i\), prediz qual seria a tendência esperada sem tratamento.
2. O valor esperado externo, \(\mathbb{E}_\omega[\cdots \mid D_i = 1]\), toma a média dessas predições avaliadas nos \(X_i\) dos tratados. Ou seja, projeta a tendência contrafactual sobre o perfil de covariadas do grupo tratado.

A diferença entre os dois termos é o ATT (Average Treatment Effect on the Treated) sob a hipótese de tendências paralelas condicionais em \(X_i\).

# Passo 1: estimar E[ΔY(0) | X_i, D_i = 0] nos controles
contr = df %>%
    filter(treat == 0) %>%
    arrange(id, tempo) %>%
    group_by(id) %>%
    summarise(
        d_y = y[tempo == 2] - y[tempo == 1],
        sexo = unique(sexo),
        raca = first(raca)
    )

out_reg = lm(d_y ~ sexo + raca, data = contr)

# Passo 2: projetar o contrafactual nos tratados
# ou seja, E[E[ΔY(0) | X_i, D_i = 0] | D_i = 1]
treat = df %>%
    filter(treat == 1) %>%
    arrange(id, tempo) %>%
    group_by(id) %>%
    summarise(
        d_y = y[tempo == 2] - y[tempo == 1],
        sexo = unique(sexo),
        raca = first(raca)
    )

# predict aplica os coeficientes dos controles aos X dos tratados
treat$d_y0_hat = predict(out_reg, newdata = treat)

# Passo 3: ATT = E[ΔY | D=1] - E[E[ΔY(0) | X, D=0] | D=1]
mean(treat$d_y) - mean(treat$d_y0_hat)