Aula 08·
Há contextos em que, mesmo fazendo experimentos, temos problemas como spillover. Nesse caso, podemos usar variáveis instrumentais de forma auxiliar. A variável instrumental por si só caiu em desuso, mas não caiu em desuso a inclusão das VI para melhorar a estimação dos efeitos causais de forma auxiliar.
Recapitulando o estimador IV e seus pressupostos:
\[ \hat{\beta}_{IV} = (Z^\top X)^{-1} Z^\top y \]
| IV1 | Linearidade |
| IV2 | i.i.d. |
| IV3 | \(Z^\top X\) é quadrada e inversível |
| IV4 | \(X^\top\varepsilon \neq 0\): modelo é endógeno |
| IV5 | \(Z^\top\varepsilon = 0\): instrumento é exógeno; restrição de exclusão |
| IV6 | \(Z^\top X \neq 0\): relevância |
Considere um modelo com múltiplas variáveis onde apenas \(X_1\) é endógena e \(X_2\) é exógena, com instrumento \(Z\) para \(X_1\):
dag_multi <- dagify(
X1 ~ Z + epsilon,
Y ~ X1 + X2 + epsilon,
latent = "epsilon",
coords = list(
x = c(Z = 0, X1 = 1, X2 = 2.5, Y = 3, epsilon = 2),
y = c(Z = 0, X1 = 0, X2 = 0.7, Y = 0, epsilon = -0.8)
)
)
ggdag(dag_multi) + theme_dag()
O PGD de \(Y\) é \(\beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon\), mas a regressão OLS não produz o \(\beta_1\) correto porque o modelo é endógeno (\(X_1 \leftarrow \varepsilon\)). Podemos resolver isso por VI.
Seja \(L\) o número de colunas de \(Z\) (instrumentos + variáveis exógenas) e \(K\) o número de colunas de \(X\) (variáveis que afetam \(Y\)). Como \(Z_{n \times L}\) e \(X_{n \times K}\), o produto \(Z^\top X\) tem dimensão \(L \times K\). A matriz só admite inversa quando \(L = K\).
Isso não é apenas um requisito matemático, mas um requisito substantivo de inferência causal.
Menos instrumentos do que variáveis endógenas: não é possível inverter \(Z^\top X\). Exemplo: \(X_1\) e \(X_2\) ambas endógenas, mas há apenas um instrumento \(Z_1\).
dag_sub <- dagify(
X1 ~ Z1 + epsilon,
X2 ~ epsilon,
Y ~ X1 + X2 + epsilon,
latent = "epsilon",
coords = list(
x = c(Z1 = 0, X1 = 1, X2 = 1, Y = 2, epsilon = 1.5),
y = c(Z1 = 0, X1 = 0.6, X2 = -0.6, Y = 0, epsilon = -1)
)
)
ggdag(dag_sub) + theme_dag()
\[ Z = \begin{bmatrix} 1 & z_1 \end{bmatrix}_{n \times 2} \qquad X = \begin{bmatrix} 1 & X_1 & X_2 \end{bmatrix}_{n \times 3} \]
\(Z^\top X\) tem dimensão \(2 \times 3\): não é quadrada, portanto não é inversível.
Exatamente tantos instrumentos quanto variáveis endógenas. \(Z^\top X\) é quadrada e inversível: o estimador IV pode ser aplicado diretamente.
dag_just <- dagify(
X1 ~ Z1 + epsilon,
X2 ~ Z2 + epsilon,
Y ~ X1 + X2 + X3,
latent = "epsilon",
coords = list(
x = c(Z1 = 0, Z2 = 0, X1 = 1, X2 = 1, X3 = 2.5, Y = 3, epsilon = 1.5),
y = c(Z1 = 0.6, Z2 = -0.6, X1 = 0.6, X2 = -0.6, X3 = 0.6, Y = 0, epsilon = -1.2)
)
)
ggdag(dag_just) + theme_dag()
\[ Z = \begin{bmatrix} 1 & z_1 & z_2 & X_3 \end{bmatrix}_{n \times 4} \qquad X = \begin{bmatrix} 1 & X_1 & X_2 & X_3 \end{bmatrix}_{n \times 4} \]
onde \(Z\) contém o intercepto, os instrumentos e as variáveis exógenas; \(X\) contém o intercepto, as variáveis endógenas e as variáveis exógenas.
Mais instrumentos do que variáveis endógenas. Do ponto de vista informacional isso é melhor, mas as matemáticas não permitem usar o estimador IV diretamente (\(Z^\top X\) não é quadrada). Precisamos do 2SLS.
Exemplo: em Acemoglu et al. (2001), mortalidade de colonos (\(Z_1\)) e relevo (\(Z_2\)) são usados como instrumentos para a qualidade das instituições (\(X_1\)), que afeta o crescimento econômico (\(Y\)).
dag_over <- dagify(
X1 ~ Z1 + Z2 + epsilon,
Y ~ X1 + X2 + epsilon,
latent = "epsilon",
coords = list(
x = c(Z1 = 0, Z2 = 0, X1 = 1.5, X2 = 2.5, Y = 3, epsilon = 2),
y = c(Z1 = 0.6, Z2 = -0.6, X1 = 0, X2 = 0.7, Y = 0, epsilon = -0.8)
)
)
ggdag(dag_over) + theme_dag()
\[ Z = \begin{bmatrix} 1 & Z_1 & Z_2 & X_2 \end{bmatrix}_{n \times 4} \qquad X = \begin{bmatrix} 1 & X_1 & X_2 \end{bmatrix}_{n \times 3} \]
\(Z^\top X\) tem dimensão \(4 \times 3\): não é quadrada.
Quando há mais de um instrumento (sobre-identificação), generalizamos a ideia de “usar apenas a variação exógena de \(X\)” via dois estágios:
Passo 1 (primeiro estágio): regredir \(X_1\) em todos os instrumentos e variáveis exógenas e calcular os valores preditos:
\[ X_1 = \alpha_0 + \alpha_1 Z_1 + \alpha_2 Z_2 + w \qquad\Rightarrow\qquad \hat{X}_1 = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 Z_1 + \hat{\alpha}_2 Z_2 \]
Passo 2 (segundo estágio): usar \(\hat{X}_1\) no lugar de \(X_1\):
\[ Y = \beta_0 + \beta_1 \hat{X}_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \varepsilon \qquad\Rightarrow\qquad \hat{\beta} = (\hat{X}^\top \hat{X})^{-1} \hat{X}^\top y \]
onde \(\hat{X}\) é a matriz com \(\hat{X}_1\) no lugar de \(X_1\) (as variáveis exógenas permanecem inalteradas).
Em notação matricial:
\[\begin{align*} \hat{\alpha} &= (Z^\top Z)^{-1} Z^\top X \quad \text{[Passo 1]} \\ \hat{X} &= Z\hat{\alpha} \quad \text{[Passo 1.5 — valores preditos]} \\ \hat{\beta} &= (\hat{X}^\top \hat{X})^{-1} \hat{X}^\top y \quad \text{[Passo 2]} \end{align*}\]
Substituindo \(\hat{X} = Z\hat{\alpha}\) na equação de \(\hat{\beta}\):
\[\begin{align*} \hat{\beta} &= \left(\hat{\alpha}^\top Z^\top Z\, \hat{\alpha}\right)^{-1} \hat{\alpha}^\top Z^\top y \end{align*}\]
E substituindo \(\hat{\alpha} = (Z^\top Z)^{-1} Z^\top X\), usando \(\hat{\alpha}^\top = X^\top Z(Z^\top Z)^{-1}\):
\[\begin{align*} \hat{\beta} &= \left[X^\top Z(Z^\top Z)^{-1} \underbrace{Z^\top Z\,(Z^\top Z)^{-1}}_{=\,I} Z^\top X\right]^{-1} X^\top Z(Z^\top Z)^{-1} Z^\top y \end{align*}\]
\[ \boxed{\hat{\beta}_{2SLS} = \left[X^\top Z(Z^\top Z)^{-1}Z^\top X\right]^{-1} X^\top Z(Z^\top Z)^{-1}Z^\top y} \]
O estimador 2SLS pode ser visto como uma OLS ponderada, onde \(Z(Z^\top Z)^{-1}Z^\top\) é a matriz de pesos que dá peso zero à parte endógena de \(X\) e peso maior à parte exógena.
Ao usar a fórmula fechada (ao invés de dois estágios manuais), evitamos a subestimação dos erros-padrão que ocorreria porque o segundo estágio manual usaria \(\hat{X}\), não \(X\), para calcular os resíduos.
set.seed(42)
n <- 10000
e <- rnorm(n, sd = 1)
dados <- tibble(
z1 = rnorm(n, mean = 2, sd = 2),
x = rnorm(n, mean = 10 + 2 * z1 - 5 * e, sd = 1),
y = rnorm(n, mean = 3 - 4 * x + 5 * e, sd = 1)
)
# β verdadeiro de x é -4
# Estratégia 1: razão de covariâncias (apenas uma var. endógena + um instrumento)
beta_cov <- with(dados, cov(z1, y) / cov(z1, x))
# Estratégia 2: estimador IV matricial — (Z'X)^{-1} Z'y (justa-identificação)
Z <- cbind(1, dados$z1)
X <- cbind(1, dados$x)
y <- dados$y
beta_iv <- solve(t(Z) %*% X) %*% t(Z) %*% y
# Estratégia 3: estimador 2SLS — fórmula fechada (generaliza para sobre-identificação)
beta_2sls <- solve(t(X) %*% Z %*% solve(t(Z) %*% Z) %*% t(Z) %*% X) %*%
(t(X) %*% Z %*% solve(t(Z) %*% Z) %*% t(Z) %*% y)
# No caso de justa-identificação, todas as fórmulas convergem
cat("Razão de covariâncias: ", round(beta_cov, 4), "\n")Razão de covariâncias: -4.0085 cat("β_IV matricial [slope]: ", round(beta_iv[2], 4), "\n")β_IV matricial [slope]: -4.0085 cat("β_2SLS [slope]: ", round(beta_2sls[2], 4), "\n")β_2SLS [slope]: -4.0085 Para uso em produção, o pacote ivreg implementa o 2SLS com erros-padrão corretos. A sintaxe y ~ x | z significa: regredir \(y\) em \(x\), usando \(z\) como instrumento. Variáveis exógenas que não são instrumentadas aparecem dos dois lados do |.
modelo_ols <- lm(y ~ x, data = dados)
modelo_iv <- ivreg(y ~ x | z1, data = dados)
summary(modelo_ols)
Call:
lm(formula = y ~ x, data = dados)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-13.2352 -2.2528 -0.0142 2.2504 12.7325
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 11.278111 0.079432 142.0 <2e-16 ***
x -4.592601 0.005118 -897.3 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 3.354 on 9998 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9877, Adjusted R-squared: 0.9877
F-statistic: 8.052e+05 on 1 and 9998 DF, p-value: < 2.2e-16summary(modelo_iv)
Call:
ivreg(formula = y ~ x | z1, data = dados)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-21.467773 -3.396426 0.009404 3.415344 21.175749
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 3.06075 0.18282 16.74 <2e-16 ***
x -4.00848 0.01248 -321.15 <2e-16 ***
Diagnostic tests:
df1 df2 statistic p-value
Weak instruments 1 9998 6318 <2e-16 ***
Wu-Hausman 1 9997 46540 <2e-16 ***
Sargan 0 NA NA NA
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.09 on 9998 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9718, Adjusted R-squared: 0.9718
Wald test: 1.031e+05 on 1 and 9998 DF, p-value: < 2.2e-16 O OLS, que ignora a endogeneidade, produz um coeficiente viesado. O estimador IV recupera o valor verdadeiro \(\beta_1 = -4\).
Variáveis instrumentais renderam vários Prêmios Nobel. Uma das contribuições mais belas é a de Angrist: a formalização do LATE (Local Average Treatment Effect).
Existem quatro tipos de pessoas no mundo:
| Tipo | Descrição |
|---|---|
| Always takers | Contrafactuais “fixos”: sempre fazem a mesma coisa em qualquer situação |
| Never takers | Idem: nunca mudariam de comportamento independentemente do instrumento |
| Compliers | Pessoas cujas vidas são efetivamente mudadas pela variável instrumental |
| Defiers | Fazem o oposto do instrumento (o pressuposto IV7 é exatamente “no defiers”) |
O problema é que a VI estima o efeito causal apenas para os compliers. A variável instrumental não captura o efeito causal no abstrato: há pessoas que têm versões idênticas em qualquer contrafactual e que, portanto, não sofrem o efeito causal.
Essa discussão é um dos usos mais interessantes da notação de inferência causal, pois torna explícita a heterogeneidade de efeitos que a VI é capaz de identificar.
Problema adicional: a distribuição da população em cada um desses grupos depende do instrumento utilizado. Isso limita o Teste de Sargan, um teste de sobre-identificação que avalia a validade conjunta dos instrumentos.