2 Aula 2

Published

March 18, 2026

Toda a parte de DAG é uma manipulação de probabilidades conjuntas e condicionais. É uma forma de escrever equações $P(X|Y) \times P(Y)$. Só que o Judea Pearl percebeu que você consegue, sem entrar nessa notação formal, resolver quase que as mesmas coisas mas graficamente. Não falaremos muito da notação formal, mas no Causal Inference in Statistics: a Primer, do próprio Judea Pearl, entramos em mais detalhes sobre isso.

2.1 A ideia de controlar por variáveis como sendo “bloquear caminhos”

Suponha o seguinte DAG:

Code

dag_ses <- dagify(
  Renda ~ SES,
  Casa  ~ Renda + SES,
  coords = list(
    x = c(SES = 0, Renda = 1, Casa = 2),
    y = c(SES = 1, Renda = 0, Casa = 0)
  )
)

ggdag(dag_ses) + theme_dag()

Aqui, estamos dizendo que casa ~ renda + SES. Se fazemos simplesmente casa ~ renda, o efeito de renda está contaminado por SES. Afinal, tudo que não especificamos na regressão vira resíduo.

Na prática, se parcializarmos a renda pelo que é explicado pelo SES, conseguimos ir “eliminando caminhos”, ou “cortar setas”.

O problema é que parcializar, na vida, é essencialmente impossível. O controle por variáveis, portanto, é uma assumption muito forte. É impossível representar todos os caminhos causais com muita certeza.

Important

Controlando por variáveis, conseguimos uma versão parcializada. Mas o fato de que fizemos isso com SES em relação à renda não significa que removemos todas as setas. Suponha, por exemplo, que cor/raça esteja ligando as duas coisas. Então a parcialização não é suficiente.

Uma coisa é $P(Y|X)$ e outra é $P(Y|\text{do}(X))$. A primeira pode ser endógena, enquanto a segunda é necessariamente causal. $\text{do}(X)$ significa que algo foi forçado.

2.2 Recap de regressão parcial

Usualmente, queremos explicar $Y$ como função de mais de uma variável, por exemplo $Y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 w + \epsilon$. $\beta_1$ é o efeito parcial de $x$ controlado por $w$.

Regressão simples (1): queremos o resíduo $\hat{\epsilon}_y = y - (a_0 + a_1 w)$

Regressão simples (2): queremos o resíduo $\hat{\epsilon}_x = x - (c_0 + c_1 w)$

A regressão parcial combina as duas coisas:

\[ \hat{\epsilon}_y = b_0 + b_1 \hat{\epsilon}_x \]

Essa regressão acima, sem controles, na verdade já está controlada, porque de saída removemos de $y$ a parte explicada de $w$ — e fizemos o mesmo com $x$. Isso significa, em essência, que $\beta_1 = b_1$.

2.3 Caminhos causais — Exemplo 1

Considere o seguinte DAG:

Code

dag_ex1 <- dagify(
  D ~ A + B,
  F ~ A,
  Y ~ F + D,
  A ~ U,
  B ~ U,
  coords = list(
    x = c(U = 0, A = 1, B = 1, F = 2, D = 2, Y = 3),
    y = c(U = 0, A = 1, B = -1, F = 1, D = -1, Y = 0)
  )
)

ggdag(dag_ex1) + theme_dag()

Os caminhos causais de $D$ até $Y$ são:

$D \rightarrow Y$
$D \leftarrow A \rightarrow F \rightarrow Y$
$D \leftarrow B \leftarrow U \rightarrow A \rightarrow F \rightarrow Y$

Backdoors

Pergunta: como tirar a parte de $D$ que é explicada por $A$ e $B$? Ou seja, como remover a relação de $D$ com $A$ e $B$ — os backdoors?

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 D + \beta_2 A + \beta_3 B \]

Note

“Parcializar é cortar caminhos. Parcializar é controlar por variáveis. Logo, controlar por variáveis é cortar caminhos.”

Ao controlar, estamos bloqueando backdoors.

Se controlarmos por $F$, também estaremos controlando pelas coisas em (2). Logo, as cadeias (2) e (3) estão interrompidas, sobrando apenas (1):

\[ Y = \alpha_0 + \alpha_1 D + \alpha_2 F \]

Regressões equivalentes

Nesse caso, temos algumas regressões equivalentes — todas deveriam revelar o mesmo efeito de $D$:

\[ Y \sim D + A \qquad Y \sim D + A + F \qquad Y \sim D + F + B \] \[ Y \sim D + F \qquad Y \sim D + A + B \qquad Y \sim D + A + F + B \]

Important

Em essência, todas essas funções deveriam revelar o mesmo efeito de $D$. Se um efeito é diferente dos demais, o diagrama foi invalidado.

2.4 Colliders

Vamos lembrar das relações triádicas:

Estrutura	Tipo	Status do caminho
$X \rightarrow M \rightarrow Y$	Cadeia (chain)	Aberto; fecha ao controlar por $M$
$X \leftarrow C \rightarrow Y$	Bifurcação (fork)	Aberto; fecha ao controlar por $C$
$X \rightarrow C \leftarrow Y$	Colisão (collider)	Já fechado; abre ao controlar por $C$

Warning

Controlar por um collider abre um caminho antes inexistente.

Na tríade $X \rightarrow C \leftarrow Y$, $X \perp Y$: são ortogonais, independentes. Controlar por $C$ cria uma associação espúria entre $X$ e $Y$.

Simulação

Code

set.seed(42)
n <- 100000

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
c <- 2 * x + 1.5 * y + rnorm(n) + 10

m1 <- lm(y ~ x)        # zero efeitos
m2 <- lm(y ~ x + c)    # efeitos criados pelo collider

summary(m1)$coefficients["x", ]

    Estimate   Std. Error      t value     Pr(>|t|) 
-0.002855772  0.003159365 -0.903906787  0.366047007

Code

summary(m2)$coefficients["x", ]

     Estimate    Std. Error       t value      Pr(>|t|) 
-9.263904e-01  2.620265e-03 -3.535483e+02  0.000000e+00

Em m1, o efeito de $x$ sobre $y$ é essencialmente zero. Em m2, ao controlar por $c$ (o collider), criamos um efeito espúrio.

Por que controlar por um collider abre caminhos?

Seja $\tilde{X} = x - (\alpha_0 + \alpha_1 c)$ e $\tilde{Y} = y - (\delta_0 + \delta_1 c)$. Então:

\[ \text{cov}(\tilde{X}, \tilde{Y}) = \text{cov}(x - \alpha_1 c,\; y - \delta_1 c) \]

\[ = \underbrace{\text{cov}(x, y)}_{= 0} + \text{cov}(x, -\delta_1 c) + \text{cov}(-\alpha_1 c, y) + \text{cov}(-\alpha_1 c, -\delta_1 c) \]

\[ = -\gamma_1\,\text{cov}(x, c) - \delta_1\,\text{cov}(c, y) + \alpha_1 \delta_1\,\text{var}(c) \neq 0 \]

É nesse sentido que controlar por um collider cria um caminho antes inexistente: em princípio parecia que estávamos removendo $c$, mas como $c$ não estava lá desde o início, acabamos incluindo-o.

Note

Estamos olhando para relações lineares, mas isso vale para quaisquer especificações funcionais.

2.5 Exemplos

Exemplo 2

Code

dag_ex2 <- dagify(
  Y ~ D + A,
  B ~ D + A,
  C ~ D + B,
  coords = list(
    x = c(D = 0, A = 2, B = 1, C = 0, Y = 2),
    y = c(D = 1, A = 1, B = 0, C = -1, Y = 0)
  )
)

ggdag(dag_ex2) + theme_dag()

Caminhos causais ($D \rightarrow Y$):

$D \rightarrow Y$ (causal)
$D \rightarrow \boxed{B} \leftarrow A \rightarrow Y$ — $B$ é collider; caminho não-causal (seta pra trás)
$D \rightarrow \boxed{C} \leftarrow B \leftarrow A \rightarrow Y$ — $C$ é collider

Mínimos controles necessários: $Y \sim D + A$, ou mesmo nenhum.

Simulação:

Code

set.seed(42)
n <- 10000

D <- rnorm(n)
A <- rnorm(n)
B <- D + A + rnorm(n)
C <- D + B + rnorm(n)
Y <- D + A + rnorm(n)

Exemplo 3

Code

dag_ex3 <- dagify(
  D ~ G,
  S ~ D + O + H,
  O ~ D + H,
  latent = "H",
  labels = c(
    G = "Sexo", D = "Discriminação",
    S = "Salário", O = "Ocupação",
    H = "Habilidades\n(não obs.)"
  ),
  coords = list(
    x = c(G = 0, D = 1, O = 2, S = 3, H = 3),
    y = c(G = 0, D = 0, O = -1, S = 0, H = -1)
  )
)

ggdag(dag_ex3, use_labels = "label", text = FALSE) + theme_dag()

Caminhos causais ($G \rightarrow S$):

$G \rightarrow D \rightarrow S$ — aberto (causal)
$G \rightarrow D \rightarrow O \rightarrow S$ — aberto (causal)
$G \rightarrow D \rightarrow \boxed{O} \leftarrow H \rightarrow S$ — fechado ($O$ é collider)

Mínimos controles necessários: nenhum. $S \sim D$.

$S \sim G + D$ elimina todos os efeitos, porque $D$ é o único mediador existente.
$S \sim G + O$ introduz viés — não podemos controlar por Ocupação, pois ela é o collider.

Warning

Se controlo pelo collider, abro o caminho. Mas se controlo por uma variável que vem depois do collider (por exemplo, $H$, se fosse observável), o caminho fecha novamente.

Em (1), se controlo por $D$, corto todas as setas.

Exemplo 5 — Descendentes de collider

Code

dag_ex5 <- dagify(
  Y ~ X + A,
  B ~ X + A,
  C ~ B,
  coords = list(
    x = c(X = 0, A = 2, B = 1, C = 1, Y = 2),
    y = c(X = 1, A = 1, B = 0, C = -1, Y = 0)
  )
)

ggdag(dag_ex5) + theme_dag()

Caminhos causais ($X \rightarrow Y$):

$X \rightarrow Y$ (causal)
$X \rightarrow \boxed{B} \leftarrow A \rightarrow Y$ — $B$ é collider; caminho não-causal

Mínimos controles: nenhum.

O que acontece se controlarmos por $C$? Afinal, $\text{cov}(C, B) \neq 0$. De fato, $C$ é causado por $B$, logo $C = a_0 + a_1 B$. Por isso, controlar por $C$ é análogo a controlar por $B$:

\[ Y \sim X + C \iff Y \sim X + B \]

Equação viesada de interesse:

\[ \text{(1)}\quad Y = \beta_0 + \underbrace{\beta_1 X + \beta_2 B}_{\text{viesado}} \]

\[ \text{(2)}\quad Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_3 C + \varepsilon \]

Substituindo $C = a_0 + a_1 B + U$:

\[ = (\beta_0 + \beta_3 a_0) + \beta_1 X + \beta_3 a_1 B + (\beta_3 U + \varepsilon) \]

O viés introduzido ao controlar pelo descendente $C$ é análogo ao viés de controlar pelo próprio collider $B$.

Exemplo 6

Code

dag_ex6 <- dagify(
  X ~ U + E,
  Y ~ X + D,
  D ~ U,
  coords = list(
    x = c(U = 0, E = 2, X = 1, D = 0, Y = 2),
    y = c(U = 0, E = 0, X = 0, D = -1, Y = 0)
  )
)

ggdag(dag_ex6) + theme_dag()

Caminhos causais ($D \rightarrow Y$):

$D \rightarrow Y$ — causal; aberto
$D \leftarrow U \rightarrow X \rightarrow Y$ — não-causal; fechado ao controlar por $X$
$D \leftarrow U \rightarrow \boxed{X} \leftarrow E \rightarrow Y$ — $X$ é collider; abre ao controlar por $X$

Colliders: $X$ (filho de $U$ e $E$). Filhos de collider: $\emptyset$ ($Y$ é nossa variável de interesse).

Mínimos controles: não é possível identificar o efeito causal.

Exemplo 7

Code

dag_ex7 <- dagify(
  Y ~ D + A + C,
  B ~ D + A,
  C ~ D + B,
  coords = list(
    x = c(D = 0, A = 2, B = 1, C = 1, Y = 2),
    y = c(D = 1, A = 1, B = 0, C = -1, Y = 0)
  )
)

ggdag(dag_ex7) + theme_dag()

Caminhos causais ($D \rightarrow Y$):

$D \rightarrow Y$ (efeito direto)
$D \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow Y$ (causal)
$D \rightarrow \boxed{B} \leftarrow A \rightarrow Y$ — $B$ é collider; não-causal
$D \rightarrow \boxed{C} \leftarrow B \leftarrow A \rightarrow Y$ — $C$ é collider; não-causal

Mínimos controles:

Efeito total: nenhum.
Efeito direto: não estimável diretamente, pois controlar por $B$ ou $C$ (os mediadores) abriria os caminhos de collider.

Colliders e seus filhos: $\{B, C\}$ — filhos estão desconectados dos caminhos causais. Mas, na verdade, é possível controlar por $A$ e fechar o caminho que se abriu:

\[ Y \sim \boxed{D} + C + A \quad \rightarrow \quad \text{efeito causal direto} \]

2.6 Sobre efeito total e efeito direto

Considere $E \rightarrow O \rightarrow S$ (com $E \rightarrow S$ também):

Educação afeta ocupação, que afeta salário — mas educação também afeta salário diretamente.
Controlar por ocupação nos dá o efeito dessa parte da educação que afeta salário mas não afeta ocupação (efeito direto).
Não controlar nos dá o efeito total.

2.7 D-Separação

Dizemos que duas variáveis estão d-separadas quando todos os caminhos entre elas forem bloqueados.

Exemplos:

$X \rightarrow C \leftarrow Y$: $X$ e $Y$ estão d-separadas (collider não controlado).
$X \rightarrow C \rightarrow Y$: após controlar por $C$, $X$ e $Y$ estão d-separadas.
$A \rightarrow B \rightarrow D$, $A \rightarrow C \rightarrow D$: após controlar por $B$ e $C$, $A$ e $D$ estão d-separadas.

Independências condicionais implicadas: $A \perp\!\!\!\perp D \mid B, C$

Voltando ao Exemplo 1

Code

ggdag(dag_ex1) + theme_dag()

Caminhos causais ($D \rightarrow Y$):

$D \rightarrow Y$ — efeito direto
$D \leftarrow B \leftarrow U \rightarrow A \rightarrow F \rightarrow Y$ — viés
$D \leftarrow A \rightarrow F \rightarrow Y$ — viés

Colliders: $\emptyset$. Ajustes mínimos: $\{F, A\}$.

Independências condicionais implicadas:

\[ B \perp\!\!\!\perp Y \mid D, A \qquad Y \perp\!\!\!\perp B \mid D, F \qquad F \perp\!\!\!\perp B \mid A \qquad \cdots \]

Note

Quando eu desenho um DAG, ele me dá o significado das relações e as implicações observáveis. As independências condicionais são testáveis nos dados — e é isso que nos permite validar ou invalidar um modelo causal.

--- title: "Aula 2" date: 2026-03-18 --- ```{r} #| include: false library(ggdag) library(ggplot2) ``` Toda a parte de DAG é uma manipulação de probabilidades conjuntas e condicionais. É uma forma de escrever equações $P(X|Y) \times P(Y)$. Só que o Judea Pearl percebeu que você consegue, sem entrar nessa notação formal, resolver quase que as mesmas coisas mas graficamente. Não falaremos muito da notação formal, mas no *Causal Inference in Statistics: a Primer*, do próprio Judea Pearl, entramos em mais detalhes sobre isso. ## A ideia de controlar por variáveis como sendo "bloquear caminhos" Suponha o seguinte DAG: ```{r} #| message: false #| fig-width: 5 #| fig-height: 2 dag_ses <- dagify( Renda ~ SES, Casa ~ Renda + SES, coords = list( x = c(SES = 0, Renda = 1, Casa = 2), y = c(SES = 1, Renda = 0, Casa = 0) ) ) ggdag(dag_ses) + theme_dag() ``` Aqui, estamos dizendo que `casa ~ renda + SES`. Se fazemos simplesmente `casa ~ renda`, o efeito de renda está contaminado por SES. Afinal, tudo que não especificamos na regressão vira resíduo. Na prática, se parcializarmos a renda pelo que é explicado pelo SES, conseguimos ir "eliminando caminhos", ou "cortar setas". O problema é que parcializar, na vida, é essencialmente impossível. O controle por variáveis, portanto, é uma *assumption* muito forte. É impossível representar todos os caminhos causais com muita certeza. ::: callout-important Controlando por variáveis, conseguimos uma versão parcializada. Mas o fato de que fizemos isso com SES em relação à renda não significa que removemos todas as setas. Suponha, por exemplo, que cor/raça esteja ligando as duas coisas. Então a parcialização não é suficiente. ::: Uma coisa é $P(Y|X)$ e outra é $P(Y|\text{do}(X))$. A primeira pode ser endógena, enquanto a segunda é necessariamente causal. $\text{do}(X)$ significa que algo foi forçado. --- ## Recap de regressão parcial Usualmente, queremos explicar $Y$ como função de mais de uma variável, por exemplo $Y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 w + \epsilon$. $\beta_1$ é o efeito parcial de $x$ controlado por $w$. **Regressão simples (1):** queremos o resíduo $\hat{\epsilon}_y = y - (a_0 + a_1 w)$ **Regressão simples (2):** queremos o resíduo $\hat{\epsilon}_x = x - (c_0 + c_1 w)$ A regressão parcial combina as duas coisas: $$ \hat{\epsilon}_y = b_0 + b_1 \hat{\epsilon}_x $$ Essa regressão acima, sem controles, na verdade já está controlada, porque de saída removemos de $y$ a parte explicada de $w$ — e fizemos o mesmo com $x$. Isso significa, em essência, que $\beta_1 = b_1$. --- ## Caminhos causais — Exemplo 1 Considere o seguinte DAG: ```{r} #| message: false #| fig-width: 6 #| fig-height: 3 dag_ex1 <- dagify( D ~ A + B, F ~ A, Y ~ F + D, A ~ U, B ~ U, coords = list( x = c(U = 0, A = 1, B = 1, F = 2, D = 2, Y = 3), y = c(U = 0, A = 1, B = -1, F = 1, D = -1, Y = 0) ) ) ggdag(dag_ex1) + theme_dag() ``` Os **caminhos causais de $D$ até $Y$** são: 1. $D \rightarrow Y$ 2. $D \leftarrow A \rightarrow F \rightarrow Y$ 3. $D \leftarrow B \leftarrow U \rightarrow A \rightarrow F \rightarrow Y$ ### Backdoors **Pergunta:** como tirar a parte de $D$ que é explicada por $A$ e $B$? Ou seja, como remover a relação de $D$ com $A$ e $B$ — os *backdoors*? $$ Y = \beta_0 + \beta_1 D + \beta_2 A + \beta_3 B $$ ::: callout-note **"Parcializar é cortar caminhos. Parcializar é controlar por variáveis. Logo, controlar por variáveis é cortar caminhos."** Ao controlar, estamos bloqueando backdoors. ::: Se controlarmos por $F$, também estaremos controlando pelas coisas em (2). Logo, as cadeias (2) e (3) estão interrompidas, sobrando apenas (1): $$ Y = \alpha_0 + \alpha_1 D + \alpha_2 F $$ ### Regressões equivalentes Nesse caso, temos algumas regressões equivalentes — todas deveriam revelar o mesmo efeito de $D$: $$ Y \sim D + A \qquad Y \sim D + A + F \qquad Y \sim D + F + B $$ $$ Y \sim D + F \qquad Y \sim D + A + B \qquad Y \sim D + A + F + B $$ ::: callout-important Em essência, todas essas funções deveriam revelar o mesmo efeito de $D$. Se um efeito é diferente dos demais, o diagrama foi invalidado. ::: --- ## Colliders Vamos lembrar das **relações triádicas**: | Estrutura | Tipo | Status do caminho | |---|---|---| | $X \rightarrow M \rightarrow Y$ | Cadeia (*chain*) | Aberto; fecha ao controlar por $M$ | | $X \leftarrow C \rightarrow Y$ | Bifurcação (*fork*) | Aberto; fecha ao controlar por $C$ | | $X \rightarrow C \leftarrow Y$ | Colisão (*collider*) | **Já fechado**; abre ao controlar por $C$ | ::: callout-warning **Controlar por um collider abre um caminho antes inexistente.** Na tríade $X \rightarrow C \leftarrow Y$, $X \perp Y$: são ortogonais, independentes. Controlar por $C$ cria uma associação espúria entre $X$ e $Y$. ::: ### Simulação ```{r} #| message: false set.seed(42) n <- 100000 x <- rnorm(n) y <- rnorm(n) c <- 2 * x + 1.5 * y + rnorm(n) + 10 m1 <- lm(y ~ x) # zero efeitos m2 <- lm(y ~ x + c) # efeitos criados pelo collider summary(m1)$coefficients["x", ] summary(m2)$coefficients["x", ] ``` Em `m1`, o efeito de $x$ sobre $y$ é essencialmente zero. Em `m2`, ao controlar por $c$ (o collider), criamos um efeito espúrio. ### Por que controlar por um collider abre caminhos? Seja $\tilde{X} = x - (\alpha_0 + \alpha_1 c)$ e $\tilde{Y} = y - (\delta_0 + \delta_1 c)$. Então: $$ \text{cov}(\tilde{X}, \tilde{Y}) = \text{cov}(x - \alpha_1 c,\; y - \delta_1 c) $$ $$ = \underbrace{\text{cov}(x, y)}_{= 0} + \text{cov}(x, -\delta_1 c) + \text{cov}(-\alpha_1 c, y) + \text{cov}(-\alpha_1 c, -\delta_1 c) $$ $$ = -\gamma_1\,\text{cov}(x, c) - \delta_1\,\text{cov}(c, y) + \alpha_1 \delta_1\,\text{var}(c) \neq 0 $$ É nesse sentido que **controlar por um collider cria um caminho antes inexistente**: em princípio parecia que estávamos removendo $c$, mas como $c$ não estava lá desde o início, acabamos incluindo-o. ::: callout-note Estamos olhando para relações lineares, mas isso vale para quaisquer especificações funcionais. ::: --- ## Exemplos ### Exemplo 2 ```{r} #| message: false #| fig-width: 5 #| fig-height: 3.5 dag_ex2 <- dagify( Y ~ D + A, B ~ D + A, C ~ D + B, coords = list( x = c(D = 0, A = 2, B = 1, C = 0, Y = 2), y = c(D = 1, A = 1, B = 0, C = -1, Y = 0) ) ) ggdag(dag_ex2) + theme_dag() ``` **Caminhos causais ($D \rightarrow Y$):** 1. $D \rightarrow Y$ (causal) 2. $D \rightarrow \boxed{B} \leftarrow A \rightarrow Y$ — $B$ é collider; caminho não-causal (seta pra trás) 3. $D \rightarrow \boxed{C} \leftarrow B \leftarrow A \rightarrow Y$ — $C$ é collider **Mínimos controles necessários:** $Y \sim D + A$, ou mesmo nenhum. **Simulação:** ```{r} set.seed(42) n <- 10000 D <- rnorm(n) A <- rnorm(n) B <- D + A + rnorm(n) C <- D + B + rnorm(n) Y <- D + A + rnorm(n) ``` --- ### Exemplo 3 ```{r} #| message: false #| fig-width: 6 #| fig-height: 3.5 dag_ex3 <- dagify( D ~ G, S ~ D + O + H, O ~ D + H, latent = "H", labels = c( G = "Sexo", D = "Discriminação", S = "Salário", O = "Ocupação", H = "Habilidades\n(não obs.)" ), coords = list( x = c(G = 0, D = 1, O = 2, S = 3, H = 3), y = c(G = 0, D = 0, O = -1, S = 0, H = -1) ) ) ggdag(dag_ex3, use_labels = "label", text = FALSE) + theme_dag() ``` **Caminhos causais ($G \rightarrow S$):** 1. $G \rightarrow D \rightarrow S$ — aberto (causal) 2. $G \rightarrow D \rightarrow O \rightarrow S$ — aberto (causal) 3. $G \rightarrow D \rightarrow \boxed{O} \leftarrow H \rightarrow S$ — **fechado** ($O$ é collider) **Mínimos controles necessários:** nenhum. $S \sim D$. - $S \sim G + D$ elimina todos os efeitos, porque $D$ é o único mediador existente. - $S \sim G + O$ introduz viés — não podemos controlar por Ocupação, pois ela é o collider. ::: callout-warning Se controlo pelo collider, abro o caminho. Mas se controlo por uma variável que vem **depois** do collider (por exemplo, $H$, se fosse observável), o caminho fecha novamente. Em (1), se controlo por $D$, corto todas as setas. ::: --- ### Exemplo 5 — Descendentes de collider ```{r} #| message: false #| fig-width: 5 #| fig-height: 3.5 dag_ex5 <- dagify( Y ~ X + A, B ~ X + A, C ~ B, coords = list( x = c(X = 0, A = 2, B = 1, C = 1, Y = 2), y = c(X = 1, A = 1, B = 0, C = -1, Y = 0) ) ) ggdag(dag_ex5) + theme_dag() ``` **Caminhos causais ($X \rightarrow Y$):** 1. $X \rightarrow Y$ (causal) 2. $X \rightarrow \boxed{B} \leftarrow A \rightarrow Y$ — $B$ é collider; caminho não-causal **Mínimos controles:** nenhum. **O que acontece se controlarmos por $C$?** Afinal, $\text{cov}(C, B) \neq 0$. De fato, $C$ é causado por $B$, logo $C = a_0 + a_1 B$. Por isso, **controlar por $C$ é análogo a controlar por $B$**: $$ Y \sim X + C \iff Y \sim X + B $$ **Equação viesada de interesse:** $$ \text{(1)}\quad Y = \beta_0 + \underbrace{\beta_1 X + \beta_2 B}_{\text{viesado}} $$ $$ \text{(2)}\quad Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_3 C + \varepsilon $$ Substituindo $C = a_0 + a_1 B + U$: $$ = (\beta_0 + \beta_3 a_0) + \beta_1 X + \beta_3 a_1 B + (\beta_3 U + \varepsilon) $$ O viés introduzido ao controlar pelo descendente $C$ é análogo ao viés de controlar pelo próprio collider $B$. --- ### Exemplo 6 ```{r} #| message: false #| fig-width: 5 #| fig-height: 3 dag_ex6 <- dagify( X ~ U + E, Y ~ X + D, D ~ U, coords = list( x = c(U = 0, E = 2, X = 1, D = 0, Y = 2), y = c(U = 0, E = 0, X = 0, D = -1, Y = 0) ) ) ggdag(dag_ex6) + theme_dag() ``` **Caminhos causais ($D \rightarrow Y$):** 1. $D \rightarrow Y$ — causal; **aberto** 2. $D \leftarrow U \rightarrow X \rightarrow Y$ — não-causal; **fechado** ao controlar por $X$ 3. $D \leftarrow U \rightarrow \boxed{X} \leftarrow E \rightarrow Y$ — $X$ é collider; **abre** ao controlar por $X$ **Colliders:** $X$ (filho de $U$ e $E$). **Filhos de collider:** $\emptyset$ ($Y$ é nossa variável de interesse). **Mínimos controles:** não é possível identificar o efeito causal. --- ### Exemplo 7 ```{r} #| message: false #| fig-width: 5 #| fig-height: 3.5 dag_ex7 <- dagify( Y ~ D + A + C, B ~ D + A, C ~ D + B, coords = list( x = c(D = 0, A = 2, B = 1, C = 1, Y = 2), y = c(D = 1, A = 1, B = 0, C = -1, Y = 0) ) ) ggdag(dag_ex7) + theme_dag() ``` **Caminhos causais ($D \rightarrow Y$):** 1. $D \rightarrow Y$ (efeito direto) 2. $D \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow Y$ (causal) 3. $D \rightarrow \boxed{B} \leftarrow A \rightarrow Y$ — $B$ é collider; não-causal 4. $D \rightarrow \boxed{C} \leftarrow B \leftarrow A \rightarrow Y$ — $C$ é collider; não-causal **Mínimos controles:** - **Efeito total:** nenhum. - **Efeito direto:** não estimável diretamente, pois controlar por $B$ ou $C$ (os mediadores) abriria os caminhos de collider. **Colliders e seus filhos:** $\{B, C\}$ — filhos estão desconectados dos caminhos causais. Mas, na verdade, é possível controlar por $A$ e fechar o caminho que se abriu: $$ Y \sim \boxed{D} + C + A \quad \rightarrow \quad \text{efeito causal direto} $$ --- ## Sobre efeito total e efeito direto Considere $E \rightarrow O \rightarrow S$ (com $E \rightarrow S$ também): - Educação afeta ocupação, que afeta salário — mas educação também afeta salário diretamente. - **Controlar por ocupação** nos dá o efeito dessa parte da educação que afeta salário mas *não* afeta ocupação (efeito direto). - **Não controlar** nos dá o efeito total. --- ## D-Separação Dizemos que duas variáveis estão **d-separadas** quando todos os caminhos entre elas forem bloqueados. **Exemplos:** - $X \rightarrow C \leftarrow Y$: $X$ e $Y$ estão d-separadas (collider não controlado). - $X \rightarrow C \rightarrow Y$: após controlar por $C$, $X$ e $Y$ estão d-separadas. - $A \rightarrow B \rightarrow D$, $A \rightarrow C \rightarrow D$: após controlar por $B$ e $C$, $A$ e $D$ estão d-separadas. **Independências condicionais implicadas:** $A \perp\!\!\!\perp D \mid B, C$ ### Voltando ao Exemplo 1 ```{r} #| message: false #| fig-width: 6 #| fig-height: 3 ggdag(dag_ex1) + theme_dag() ``` **Caminhos causais ($D \rightarrow Y$):** 1. $D \rightarrow Y$ — efeito direto 2. $D \leftarrow B \leftarrow U \rightarrow A \rightarrow F \rightarrow Y$ — viés 3. $D \leftarrow A \rightarrow F \rightarrow Y$ — viés **Colliders:** $\emptyset$. **Ajustes mínimos:** $\{F, A\}$. **Independências condicionais implicadas:** $$ B \perp\!\!\!\perp Y \mid D, A \qquad Y \perp\!\!\!\perp B \mid D, F \qquad F \perp\!\!\!\perp B \mid A \qquad \cdots $$ ::: callout-note Quando eu desenho um DAG, ele me dá o significado das relações e as implicações observáveis. As independências condicionais são *testáveis* nos dados — e é isso que nos permite validar ou invalidar um modelo causal. :::