Aula 12·
Diff-in-Diff pt. 2
Assumptions
Das coisas mais importantes que vimos até agora, está a suposição de independência dos resultados potenciais em relação ao tratamento, isto é, mean independence:
\[ Y(0), Y(1) \perp\!\!\!\perp D \]
A gente sabe que isso nem sempre é possível, então podemos aplicar o conceito de ignorability controlando pelos demais fatores de confusão (depois de controlado por variáveis, o tratamento ocorreu de forma as good as random):
\[ Y(0), Y(1) \perp\!\!\!\perp D \mid X \]
\[ ATT = \mathbb{E}[Y_t(1) | D = 1] - \mathbb{E}[Y_t(0) | D = 1] \]
Vamos partir desse caso aqui:
| Y(0) | Y(1) | D | t | Y |
|---|---|---|---|---|
| 25 | 25 | 1 | 1 | 25 |
| 26 | 29 | 1 | 2 | 29 |
Assumption (1): Não antecipação. Para todos os períodos \(t\) pré-tratamento, \(Y_t(0) = Y_t(1)\).
Assumption (2): Parallel trends. \(\mathbb{E}[Y_{t=2}(0) | D = 1] - \mathbb{E}[Y_{t=1}(0) | D = 1] = \mathbb{E}[Y_{t=2}(0) | D = 0] - \mathbb{E}[Y_{t=1}(0) | D = 0]\).
O lance é o seguinte: essas são as nossas assumptions, e elas misturam dados “que existem” com dados que “não existem”. Obtemos o estimador ao reescrever essas igualdades matemáticas apenas com coisas que existem.
O que é observado não precisa de indexação em termos de \((1)\) ou \((0)\). Então eventualmente chegamos ao seguinte: a versão contrafactual não tratada dos que de fato foram tratados é o estado inicial dos tratados mais a variação dos não tratados.
\[ \underbrace{\mathbb{E}[Y_{t=2}(0) \mid D=1]}_{\text{contrafactual não observado}} = \underbrace{\mathbb{E}[Y_{t=1} \mid D=1]}_{\text{estado inicial dos tratados}} + \Bigl(\underbrace{\mathbb{E}[Y_{t=2} \mid D=0] - \mathbb{E}[Y_{t=1} \mid D=0]}_{\text{variação observada no grupo controle}}\Bigr) \]
O lado esquerdo é o que nunca vemos: o resultado que os tratados teriam tido em \(t=2\) caso não tivessem sido tratados. A parallel trends assumption nos diz que a tendência temporal desse contrafactual é a mesma que a do grupo controle. Então podemos imputá-lo: pegamos o ponto de partida dos próprios tratados em \(t=1\) e somamos a variação que o grupo controle de fato apresentou entre os dois períodos.