Aula 01·
O grande experimento de Snow
Esta aula de exemplo mostra o esqueleto que toda aula segue: as anotações das leituras (citações literais com página e comentários curtos entre elas), as anotações de aula e, quando fizer sentido, uma simulação. O conteúdo é real: a investigação de John Snow sobre a epidemia de cólera de 1854 em Londres, cujo texto está em domínio público.
Leituras
Snow (1855), “Epidemic of 1854 in the south districts of London”
Snow percebe que as duas companhias de água do sul de Londres atendiam, rua a rua e às vezes casa a casa, clientes muito parecidos entre si. A diferença entre elas estava na captação: a Lambeth tinha mudado a tomada d’água para um trecho do Tâmisa acima dos esgotos, e a Southwark and Vauxhall continuava captando em Battersea.
As there is no difference whatever, either in the houses or the people receiving the supply of the two Water Companies, or in any of the physical conditions with which they are surrounded, it is obvious that no experiment could have been devised which would more thoroughly test the effect of water supply on the progress of cholera than this, which circumstances placed ready made before the observer. (Snow 1855, 75)
O argumento é de identificação, e não de modelagem. Snow não controla nada: ele descreve por que os dois grupos são comparáveis e, a partir daí, a comparação simples de taxas já tem leitura causal.
No fewer than three hundred thousand people of both sexes, of every age and occupation, and of every rank and station, from gentlefolks down to the very poor, were divided into two groups without their choice, and, in most cases, without their knowledge (Snow 1855, 75)
“Without their choice” é a frase que sustenta o desenho. Se as famílias escolhessem a companhia, a renda ou a preocupação com a saúde poderiam explicar tanto a escolha quanto a mortalidade. É exatamente esse caso que a simulação no fim da página deixa explorar.
The mortality in the houses supplied by the Southwark and Vauxhall Company was therefore between eight and nine times as great as in the houses supplied by the Lambeth Company (Snow 1855, 86)
Freedman (1991)
Freedman usa Snow como contraexemplo à pesquisa que confia em modelos de regressão para substituir o desenho. O ponto dele é que a força do argumento de Snow vem do trabalho de campo (bater de porta em porta para descobrir qual companhia atendia cada casa) e da escolha de uma comparação em que os grupos são parecidos por construção.
Anotações de aula
A aula começou pela pergunta de sempre: o que teria acontecido com as casas atendidas pela Southwark and Vauxhall se elas recebessem a água da Lambeth? Essa pergunta é um contrafactual, e a Tabela IX de Snow é uma tentativa de respondê-la com dados observacionais.
| Companhia | Casas | Mortes por cólera | Mortes a cada 10 mil casas |
|---|---|---|---|
| Southwark and Vauxhall | 40.046 | 1.263 | 315 |
| Lambeth | 26.107 | 98 | 37 |
| Resto de Londres | 256.423 | 1.422 | 59 |
A razão entre as taxas da Tabela 1 é de \(315/37 \approx 8{,}5\), ou \(8{,}4\) se calculada com as contagens sem arredondamento.
Definição 1 (Experimento natural) Situação em que a exposição a um tratamento é determinada por circunstâncias alheias às unidades e aos pesquisadores, de modo que a alocação pode ser tratada como se fosse aleatória em relação aos resultados potenciais.
Com a notação de resultados potenciais, seja \(D_i = 1\) se a casa \(i\) é atendida pela Southwark and Vauxhall e \(Y_i\) um indicador de morte por cólera. A comparação ingênua das médias se decompõe em duas partes.
Teorema 1 (Decomposição da diferença ingênua) \[ \underbrace{\mathbb{E}[Y_i \mid D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_i \mid D_i = 0]}_{\text{diferença observada}} = \underbrace{\mathbb{E}[Y_{1i} - Y_{0i} \mid D_i = 1]}_{\text{ATT}} + \underbrace{\mathbb{E}[Y_{0i} \mid D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_{0i} \mid D_i = 0]}_{\text{viés de seleção}} \]
Prova
Some e subtraia \(\mathbb{E}[Y_{0i} \mid D_i = 1]\) do lado esquerdo e use que \(Y_i = Y_{1i}\) quando \(D_i = 1\) e \(Y_i = Y_{0i}\) quando \(D_i = 0\):
\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[Y_{1i} \mid D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_{0i} \mid D_i = 0] &= \mathbb{E}[Y_{1i} \mid D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_{0i} \mid D_i = 1] \\ &\quad + \mathbb{E}[Y_{0i} \mid D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_{0i} \mid D_i = 0]. \end{aligned} \]
O argumento de Snow na p. 75 é, em termos modernos, um argumento de que o viés de seleção é zero: como a companhia não depende das características das casas, \(\mathbb{E}[Y_{0i} \mid D_i = 1] = \mathbb{E}[Y_{0i} \mid D_i = 0]\).1
AvisoCuidado com a leitura da Tabela IX
Snow compara casas, e não pessoas. Se o número de moradores por casa diferisse entre as companhias, as taxas por 10 mil casas não seriam taxas por habitante.
Simulação
A simulação reproduz a lógica da Tabela IX com casas artificiais. Cada casa tem uma renda padronizada, é atendida por uma das duas companhias e tem um risco de morte que depende da água e da renda. Com seleção nula (\(\gamma = 0\)), a companhia não depende da renda, como argumenta Snow. Aumente \(\gamma\) para que a Southwark and Vauxhall atenda casas mais pobres e veja o que acontece com a comparação ingênua.
Código
set.seed(7919)
n <- 50000; a <- -5.8; b <- 2.1; c <- 0.8; gama <- 0
renda <- rnorm(n)
sv <- rbinom(n, 1, plogis(-gama * renda)) # 1 = Southwark and Vauxhall
q1 <- plogis(a + b - c * renda) # risco se recebesse água de S&V
q0 <- plogis(a - c * renda) # risco se recebesse água da Lambeth
morte <- rbinom(n, 1, ifelse(sv == 1, q1, q0))
razao_ingenua <- mean(morte[sv == 1]) / mean(morte[sv == 0])
efeito_verdadeiro <- mean(q1) / mean(q0)
c(ingenua = razao_ingenua, verdadeira = efeito_verdadeiro)
Freedman, David A. 1991. “Statistical Models and Shoe Leather”. Sociological Methodology 21: 291–313. https://doi.org/10.2307/270939.
Snow, John. 1855. On the Mode of Communication of Cholera. 2º ed. John Churchill. https://archive.org/details/b28985266.
A versão da decomposição com razão de riscos, em vez de diferença de médias, segue o mesmo raciocínio.↩︎