Uma variável aleatória \(X\) é uma função que mapeia alternativas do espaço amostral \(\Omega\) para o conjunto dos números reais: \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\).
O espaço amostral \(\Omega\) é o conjunto das alternativas possíveis de serem sorteados. Exemplo:
\[ \begin{align*} &\Omega = \{ \text{cara, coroa} \} \\ &\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \\ &\Omega = [0, \infty^+) \end{align*} \]
\[ \mathbb{P}(A|B) = \dfrac{\mathbb{P}(A, B)}{\mathbb{P}(B)} \]
Suponha um dado de 4 lados. Temos várias combinações possíveis. Agora, vamos calcular \(\mathbb{P}(\text{Dado 1} = 4 | \text{Dado 2} = 2)\) – e devemos considerar essa segunda parte como uma espécie de “filtro”, ou seja, vamos considerar apenas os casos nos quais o segundo dado assumiu valor 2.
\(\mathbb{P}(A, B)\) é a probabilidade conjunta e \(\mathbb{P}(B)\) é a probabilidade marginal.
E, por último:
\[ \begin{align*} f(x) &= p^x \cdot (1 - p)^{1-x} \\ &x \in \{0, 1\} \end{align*} \]
Seja \(p = 0.7\):
| \(\Omega\) | Probabilidade |
|---|---|
| 0 | \((0.7)^0 \cdot (0.3)^1 = 0.3\) |
| 1 | \((0.7)^1 \cdot (0.3)^0 = 0.7\) |
A distribuição Binomial representa a soma de várias variáveis Bernoulli independentes (com o mesmo valor de \(p\)) – ou seja, a Bernoulli é um caso especial da Binomial. A Bernoulli, mas especificamente, modela um único experimento que pode resultar em sucesso (com probabilidade \(p\)) e fracasso (com probabilidade \(1-p\)).
\[ \begin{align*} f(x) = \mathbb{P}(X = x) &= \binom{n}{x} p^{x} (1 - p)^{n - x}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots, n \\ &= \dfrac{n!}{x! (n-x)!} \cdot p^x (1 - p)^{n-x} \end{align*} \]
Os parâmetros são \(p\) e \(n\).
set.seed(42)
# parâmetros da binomial
n <- 3 # número de tentativas
p <- 0.3 # probabilidade de sucesso
# suporte
x <- 0:n
# pmf
fx <- dbinom(x, size = n, prob = p)
# gráfico
plot(x, fx,
type = "h", lwd = 3,
xlab = "x", ylab = "P(X = x)",
main = sprintf("Distribuição Binomial(n = %d, p = %.1f)", n, p))
points(x, fx, pch = 16)
Distribuições paramétricas “resumem” uma “tabela grande” em um pequeno conjunto de parâmetros (i.e. números pré-definidos) e uma fórmula.
\(\rightarrow\) Qual é a fórmula? (qual é a distribuição?)
\(\rightarrow\) Qual é o valor pré-determinado dos parâmetros?
É uma distribuição com espaço amostral \(x \in \mathbb{I}\) com um único parâmetro \(\lambda\), que define, ao mesmo tempo, o ponto central e a dispersão.
\[ f(x) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad \lambda \in \mathbb{R}^+ \]
Suponha \(\lambda = 2.5\):
| \(\Omega\) | Probabilidade |
|---|---|
| 0 | \(\mathbb{P}(X=0) = \dfrac{e^{-2.5}(2.5)^0}{0!} = e^{-2.5} \approx 0.0821\) |
| 1 | \(\mathbb{P}(X=1) = \dfrac{e^{-2.5}(2.5)^1}{1!} = 2.5\,e^{-2.5} \approx 0.2052\) |
| 2 | \(\mathbb{P}(X=2) = \dfrac{e^{-2.5}(2.5)^2}{2!} = 3.125\,e^{-2.5} \approx 0.2565\) |
| 3 | \(\mathbb{P}(X=3) = \dfrac{e^{-2.5}(2.5)^3}{3!} = 2.604\,e^{-2.5} \approx 0.2138\) |
| 4 | \(\mathbb{P}(X=4) = \dfrac{e^{-2.5}(2.5)^4}{4!} = 1.6276\,e^{-2.5} \approx 0.1336\) |
prob = function(x, l){
e = exp(1)
((e^-l) * l^x) / factorial(x)
}
# loop de 0 a 5
for (x in 0:5) {
cat("x =", x, "->", prob(x, l = 2.5), "\n")
}x = 0 -> 0.082085
x = 1 -> 0.2052125
x = 2 -> 0.2565156
x = 3 -> 0.213763
x = 4 -> 0.1336019
x = 5 -> 0.06680094 \[ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{\sigma^2 2\pi}} e^{(-\frac{1}{2} \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2})}, \]
tendo \(\mu\) e \(\sigma^2\) como parâmetros. Neste caso, \(\mu\) altera o “lugar” da distribuição, e \(\sigma^2\) altera a dispersão da distribuição.
Trata-se de uma distribuição impossível de tabular, porque se trata de um conjunto não enumerável – \(x \in \mathbb{R} \leftrightarrow x \in (-\infty, +\infty)\).
Vejamos a forma da função com \(\mu = 1, \sigma^2 = 4\):
\[ f(x) = \dfrac{1}{4 \cdot 2\pi} e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-1)^2}{4}} \]
Supondo \(x = 1\), teríamos:
\[ f(1) = \dfrac{1}{8\pi} e^{0} \approx 0.1995 \]
As distribuições discretas tem um espaço amostral enumerável, contável e é possível calcular a probabilidade de cada valor no espaço amostral exatamente.
Distribuições contínuas, por sua vez, têm \(\Omega\) não contável, não enumerável, e a probabilidade de um valor específico é irrisória e não é de interesse. Calculamos a probabilidade de intervalos. Valores na região da média são muito prováveis (i.e. há alta densidade de probabilidade). Nesse caso, o cálculo da probabilidade é a área na região entre dois valores.
Se quiséssemos calcular a área entre \(-\infty\) e \(3\), faríamos:
\[ \int^3_{-\infty} f(x) dx \]
Nas distribuições paramétricas, os momentos da distribuição são obtidos por meio de alguma função/transformação dos parâmetros.
Momento é um valor esperado de uma potência (centrada ou não) da distribuição.
\(\mathbb{E}[X]\) (média), \(\mathbb{E}[X^2]\), \(\mathbb{E}[X^3]\), \(\mathbb{E}[X - \mathbb{E}[X]]\), \(\mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]\) (variância).
\[ \text{Bernoulli} \left\{ \begin{array}{l} \mathbb{E}[X] = p \\ \operatorname{Var}(X) = p(1-p) \end{array} \right. \]
\[ \text{Binomial} \left\{ \begin{array}{l} \mathbb{E}[X] = np \\ \operatorname{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p) \end{array} \right. \]
\[ \text{Poisson} \left\{ \begin{array}{l} \mathbb{E}[X] = \lambda \\ \operatorname{Var}(X) = \lambda \end{array} \right. \]